О возможности идеальной демократии

В статье "Кардиналистское голосование..." приводится теоретическое опровержение основного вывода теоремы Эрроу о невозможности демократии. В данной же статье я постарался как можно доходчивее объяснить как смысл теоремы Эрроу, так и основную ошибку Эррроу, которая опровергает основной вывод этой теоремы.

Речь пойдет о пресловутой теореме Эрроу и ее основном выводе о невозможности демократии. Поскольку я не экономист и даже не математик, в исторические дебри углубляться не буду. Начну, пожалуй, с 1951 года, коим датируется первый выпуск диссертационной работы Эрроу «Социальный выбор и индивидуальные ценности». В этой работе как раз и была представлена та самая теорема Эрроу. За следующее десятилетие работа произвела в соответствующих научных кругах настоящий фурор благодаря своему сногсшибательному выводу. Теорему проверяли и так и сяк, но ошибок обнаружить не смогли. В 1963 году Эрроу переиздает свою работу. Лично я читал именно ее. Ну а в 1972 году Эрроу получает Нобелевскую премию главным образом как раз за свою теорему.

Для тех, кто не в курсе, немного расскажу о теореме. Как и всякая другая теорема, эта теорема также базируется на аксиомах. Во втором издании книги их было штук 7, если мне память не изменяет. Впоследствии их подсократили до четырех. В своей работе Эрроу пытался ответить на вопрос, возможна ли такая система голосования, которая бы с одной стороны, отвечала некоторым, скажем так условиям демократичного выбора, а с другой обеспечивала результативный социальный выбор. Голосование, с математической точки зрения, это функция, которая преобразует индивидуальные предпочтения голосующих в социальное решение.

И вот к этой функции предъявляются следующие требования:

1. Единогласие или условие Парето-оптимальности. Это значит, что если каждый из голосующих за некоторую альтернативу, то именно она и должна победить в голосовании. Вроде логично, не так ли?
2. Отсутствие диктатора. Не должно быть такого индивидуума, который бы мог определять социальный выбор единолично, независимо от предпочтений других голосующих. Тоже вполне таки нормальное условие.
3. Независимость от посторонних альтернатив. Это значит, что если общество предпочитает одну альтернативу другой, то это предпочтение не должно никак зависеть от наличия или отсутствия какой то третьей альтернативы. И это тоже вполне нормальное условие. Если мы Петю предпочитаем Васе, то почему это должно поменяться, если в выборах будет участвовать еще и Коля?
4. В английском языке это условие записывается как unrestricted domain. Это значит, что индивидуальные предпочтения должны быть полны и транзитивны, а функция голосования обеспечивает результат при любой комбинации индивидуальных предпочтений. Полнота индивидуальных предпочтений говорит о том, что нет неопределившихся со своими предпочтениями избирателей. А транзитивность это если a>b и b>c, то a>c. Условие неограниченного домена связано не столько с демократическими принципами, сколько с математическими требованиями, чтобы сама постановка задачи была в русле математики и могла иметь решение по формальным признакам.

Так вот, согласно теореме Эрроу выполнение всех этих условий одновременно невозможно. Всегда какое то условие будет противоречить какому то другому. И как ни парадоксально, если поступиться условием отсутствия диктатора, то противоречия снимаются. Т.е. самая демократичная система выборов — диктаторская?! Вывод действительно потрясающий, потому и Нобелевскую за него дали. Сейчас это называют парадоксом социального выбора. Теорема Эрроу попросту называется теоремой невозможности. За прошедшие уже более полувека конечно же пытались обойти этот парадокс. Но все как то безуспешно.

И, тем не менее, попробуем. На самом деле в доказательстве теоремы Эрроу имеется еще одна негласно присутствующая аксиома. Она выводится в начале работы Эрроу и занимает довольно много места. Всю свою работу, и теорему в частности Эрроу рассматривает с позиций т.н. ординалистского подхода. Согласно этого подхода предпочтения индивидуума могут измеряться только качественно, по шкале лучше-хуже, и никак иначе. Не буду приводить всех рассуждений и аргументов.

Суть их в том, что предпочтения нельзя измерить количественно и притом объективно. Резон конечно есть. И не малый. Аргументация ординалистов получила столь широкое распространение, что они фактически большинством задавили т.н. кардиналистов, которые настаивали на возможности количественного измерения индивидуальных предпочтений. В общем случилась не наука, а такая политика в науке, когда истину определили большинством голосов. Дальше — больше. Утверждается, что ординалистский подход необходим и достаточен в частности для описания всех возможных систем голосования. Ну а раз так, то вывод теоремы Эрроу универсален и ставит крест на любых попытках обойти парадокс социального выбора.

Повторюсь, я не экономист, которому этот курс обязательно бы читали, и даже не математик, которому бы тоже эти истины вдалбливали. Я физик. У нас принято проверять теоретические истины на практике.

А на практике я вижу, да и любой способен видеть, что существуют и с успехом используются на этой самой практике судейства в спортивных дисциплинах, таких как фигурное катание, фристайл, прыжки в воду и т.д и т.п. При этом несколько судей, читай голосущих, видимо понятия не имеющих о достижениях науки о социальном выборе и о том, что они не могут количественно измерять свои предпочтения относительно альтернатив (спортсменов), ставят этим спортсменам количественные оценки. Потом эти оценки по определенным правилам преобразуются в их общую, читай социальную оценку альтернативе. Ну ладно, допустим это атавизм или рудимент. Все это можно исправить ради истины, которая говорит, что любое голосование может быть представлено как ординалистское. Да неужели? Я взял трех судей — R1, R2, R3, и три альтернативы — a, b, c. Судьи могут ставить им оценки от 0 до 1. Затем рассмотрел шесть разных комбинаций предпочтений судей.

Исход a > b > c R 1 R 2 R 3 ∑ a 1 0.6 0.1 1.7 b 0.5 0.1 1 1.6 c 0 1 0.5 1.5	Исход a > c > b R 1 R 2 R 3 ∑ a 1 0.6 0.1 1.7 b 0.5 0 1 1.5 c 0.1 1 0.5 1.6
Исход c > a > b R 1 R 2 R 3 ∑ a 1 0.5 0.1 1.6 b 0.5 0 1 1.5 c 0.1 1 0.6 1.7	Исход c > b > a R 1 R 2 R 3 ∑ a 1 0.5 0 1.5 b 0.5 0.1 1 1.6 c 0.1 1 0.6 1.7
Исход b > a > c R 1 R 2 R 3 ∑ a 1 0.6 0 1.6 b 0.6 0.1 1 1.7 c 0 1 0.5 1.5	Исход b > c > a R 1 R 2 R 3 ∑ a 1 0.5 0 1.5 b 0.6 0.1 1 1.7 c 0 1 0.6 1.6

С результатами a > b > c, a > c > b, c > a > b, c > b > a, b > a > c, b > c > a, последовательно. С ординалистской точки зрения предпочтения судей одни и те же в этих шести случаях, а именно

Спрашивается, как один и тот же профиль предпочтений может дать шесть разных результатов, которые дает кардиналистское голосование? А никак. Это невозможно по определению однозначной функции.

Итак, существуют голосования, которые не могут быть описаны в рамках ординалистского подхода вопреки базовой ординалистской аксиоме. А раз так, то теорема Эрроу теряет характер универсальности. Она не годится на все случаи жизни. Если угодно, с научной точки зрения это всего лишь частный результат, справедливый при ряде допущений. Из теоремы Эрроу нельзя утверждать невозможность демократии. Да и с Нобелевской, получается, погорячились. Хотя, я думаю, это был политический шаг. Ведь судейские голосования были известны задолго до работы Эрроу. Кому то было и есть выгодно, чтобы демократия вызывала сомнения, а тем более научно обоснованные. И ведь что интересно, о том, что парадокс преодолим путем введения количественной измеримости предпочтений, было известно. Аматья Сен в своей Нобелевской лекции так прямо и говорил. Но ординалистская «партия» настолько сильна, что в научных кругах даже думать о кардиналистском подходе запрещено. Когда я докладывал свой результат на конференции DAOR-2004, один из математиков в порыве гнева кричал о судействе, что это не голосование, это черт знает что. Весьма научный аргумент!

Могу еще добавить для полноты картины, что я доказал, что кардиналистское голосование полностью удовлетворяет условиям теоремы Эрроу, что доказывает теоретическую возможность демократического выбора.