О манипулируемости голосований

Абстракт

Основной результат касательно манипулируемости голосования дается теоремой Гиббарда – Саттерсвайта, которая доказывается при условии, что предпочтения голосующих известны. В статье рассматриваются и обсуждаются другие случаи, когда предпочтения избирателей известны лишь частично или неизвестны совсем. Чтобы учесть степень информированности голосующих о предпочтениях других избирателей, вводится понятие достоверной информации. Также определяется понятие истинных предпочтений как таких, которые голосующий показывает, делая выбор единолично. Исходя из рациональности голосующих и принимая, что они имеют право отказаться от участия в голосовании, мы получили результат, подобный тому, что дает теорема Гиббарда – Саттерсвайта. При этом доказательство справедливо для всех голосований, а не только для правил выбора одной альтернативы, а также для 2-х альтернативных голосований. Кроме того мы доказываем, что любая процедура голосования является неманипулируемой, если достоверная информация о предпочтениях избирателей отсутствует.

Гиббард (1973) и Сеттерсвайт (1975) независимо доказали теорему, что как минимум для трех альтернатив всякое Парето-оптимальное, неманимулируемое (защищенное от стратегий) правило выбора является диктаторским. Голосование считается манипулируемым, если голосующий, чье поведение считается рациональным, может показать неискренние предпочтения, чтобы получить более предпочтительный для себя исход голосования.

Почему так важно, чтобы голосование было защищено от манипулирования? Смысл голосования состоит в том, чтобы, определив профиль индивидуальных предпочтений p, построить по нему с помощью заданной функции F коллективное упорядочение имеющихся альтернатив, F,p⇒F(p). При этом функция F не должна зависеть ни отчего другого, как от профиля p. Когда индивидуум манипулирует, т.е. показывает не истинные, а ложные предпочтения, то весь профиль изменяется, p⇒p*, причем p≠p*. Как результат p*⇒F(p*). По определению функции F(p*)≡F(p) тогда и только тогда, когда F ≡ const. Т.е., если голосование манипулируемое, становится невозможным узнать ни истинный профиль p, ни соответствующее ему коллективное упорядочение, и само голосование теряет свой смысл.

Прежде всего попробуем ответить на два вопроса: почему и как индивидуум голосует?

Почему голосуют? Голосование включает в себя собственно процесс голосования и результаты выборов. Конечно, индивидуум может быть заинтересован как в одном, так и в другом, и даже в том и другом одновременно. Например, индивидуум может получать удовольствие от процесса голосования как от игрового процесса. Настоящее исследование, однако, как и у Эрроу (1951, 1963), ограничивается только формальными аспектами коллективного выбора, поэтому игровые аспекты далее не рассматриваются. Таким образом, рассматривается единственная цель индивидуума голосовать - результат голосования, т.е. коллективное ранжирование имеющихся альтернатив. Эта цель также имеет два аспекта.

Во-первых, индивидуум имеет свое собственное представление, видение или желание касательно ранжирования альтернатив, общепринятое понятие чего есть предпочтение. Т.е. индивидуум голосует, потому что хочет реализовать свои предпочтения.

Во-вторых, индивидуум заинтересован в голосовании, когда он не может реализовать свои предпочтения каким-нибудь другим способом. Отметим, что этот аспект не противоречит первому. Более того, индивидуум заинтересован в голосовании постольку, поскольку оно способствует реализации его предпочтений. Т.е. оба аспекта отражают единственную цель индивидуума:

Условие 1 (С1). Единственная цель индивидуума участвовать в голосовании - реализация его предпочтений.

Как голосуют? Участвуя в голосовании, индивидуум совершает некоторые действия. А любые действия индивидуум совершает, рассчитывая получить максимум полезности для себя, как бы он ее (полезность) себе не представлял (Friedman (1953), p. 13, например). Таким образом задается определение рационального индивидуума:

Определение 1 (D1). Рациональный индивидуум совершает только такие действия, ожидаемые результаты которых максимизируют полезность для индивидуума.

Следствием D1 является утверждение (CD1), что рациональный индивидуум никогда не совершает действий ради ничего. Любое действие совершается с издержками, которые «ничего» не может покрыть по определению. Поэтому любое действие ради ничего может только минимизировать, а не максимизировать результаты действия.

В голосовании рассматриваются рациональные индивидуумы, которые, как уже говорилось, голосуя, совершают некоторые действия. Поэтому следствием D1 является следующее определение:

Определение 2 (D2). Рациональный избиратель голосует таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую полезность результатов выборов для него.

Итак, ответом на второй вопрос, «как голосуют?», будет - «индивидуум максимизирует ожидаемую полезность». Но есть ли какой-то предел такой максимизации? В соответствии с С1 индивидуум достигает максимума по реализации всех своих предпочтений.

Тривиальный случай, когда индивидуум достигает своей цели, это случай, когда он определяет коллективный выбор единолично. Используем этот факт для определения «истинных предпочтений».

Определение 3 (D3). Истинные предпочтения индивидуума такие, как если бы он определял коллективный выбор единолично.

Определение D3 можно использовать как критерий существования истинных предпочтений. Если, делая выбор единолично, голосующий не может показать некоторое предпочтение, то его не существует в данной процедуре голосования.

Следует отметить, что истинные предпочтения индивидуума и его истинные желания могут не совпадать. Желания индивидуума могут быть любыми, тогда как предпочтения могут быть только из числа разрешенных процедурой голосования. Рассмотрим для примера мажоритарное голосование с тремя кандидатурами a, b и c. В таком голосовании индивидуум может голосовать только за одну из имеющихся кандидатур. При этом избиратель может сообщить только два предпочтения, а именно, какая кандидатура не хуже двух других. Т.е. голосуя, например, за a, он показывает a > b и a > c. А предпочтения между b и c для этого случая процедура голосования не предусматривает. Определение D3 можно рассматривать и как критерий существования истинных предпочтений рационально индивидуума. Если, голосуя единолично, индивидуум ни при каких условиях не может показать некоторого предпочтения, то его в данном голосовании не существует. Здесь и далее используется формальное обозначение строгого предпочтения вида a лучше b, a > b.

Относительно слабых предпочтений вида a не хуже b, a ≥ b, авторы считают, что в действительности таких предпочтений не бывает. Это скорее искренние желания. Авторам не известны голосования, в которых голосующий мог бы показать свои в предпочтения в таком виде. Голосующий может показать либо строгое предпочтение, либо безразличие относительно рассматриваемых альтернатив. Тем не менее, желая победы какой то альтернативе, голосующий может быть удовлетворен тем, что она не проиграла. Но это не означает, что при голосовании избиратель предпочтет безразличие строгому предпочтению или хотя бы рассмотрит их эквивалентными. Т.е. слабое предпочтение отражает скорее пожелания избирателя относительно исхода голосования, а не его истинные предпочтения относительно альтернатив. Но эти пожелания могут оказаться существенными для мотивации избирателя на участие в голосовании, например, чтобы добиться хотя бы не проигрыша «своей» альтернативы. Принимая это во внимание, а также условие С1, мы не исключаем из рассмотрения слабое предпочтение, отмечая однако, что безразличие в нем относится к желаемому исходу голосования.

Делая свой выбор, индивидуум руководствуется любой доступной ему информацией, которая может быть использована для максимизации ожидаемой полезности. Правда, одна и та же информация может быть полезна для одного индивидуума и совершенно бесполезна для другого. Определим достоверную информацию как такую, что любой рациональный индивидуум должен принять ее в расчет для максимизации ожидаемой полезности.

Применительно к голосованиям определим достоверную информацию RI(a,b) как разницу между ожидаемыми голосами за альтернативы a и b. Достоверная информация может иметь разные значения для голосующих. Т.е. достоверная информация должна зависеть не только от альтернатив, но и от конкретного избирателя. Поэтому более правильным будет обозначение RI_i(a,b), где i обозначает голосующего.

Значение RI_i(a,b) является числом и может быть положительным или отрицательным, т.е. |RI_i(a,b)|=0,1,2,3,… ,n и RI_i(a,b)= -RI_i(b,a). Предельные случаи RI_i(a,b) =0 и |RI_i(a,b)|>>1. Первый случай имеет место, когда избирателю i известно, что предпочтения других голосующих распределились поровну между альтернативами a и b. Кроме того, если избиратель i не располагает никакой информацией относительно предпочтений других голосующих, он может руководствоваться только вероятностным подходом, согласно которому победа a или b равновероятна. При это также RI_i(a,b)=0. В выборах с большим количеством голосующих, как правило, избиратели не располагают точной информацией о предпочтениях других голосующих в виде точного значения RI_i(a,b), но, например, по результатам экзит-поллов им может быть известна оценка |RI_i(a,b)|>>1, которой рациональный избиратель также должен руководствоваться.

Ниже мы рассматриваем манипулируемость процедур голососвания, которые удовлетворяют следующим условиям. Будем рассматривать голосования с такой процедурой, что безразличие произвольного индивидуума не отражается на исходе голосования.

Условие 2 (С2). Для любой пары профилей p(p₁, …, p_N) и p*(p₁, …, p_N, p_N+1)), для любой пары альтернатив a и b исходы голосования F(p) ⇔ F(p*), если N+1-ый индивидуум показывает свое безразличие относительно a и b.

Примем также, что индивидуум вправе участвовать или не участвовать в голосовании. Такое право должно быть отражено в процедуре голосования. Если неучастие в голосовании может изменить результат, это непосредственно означает манипулируемость голосования. Чтобы исключить такую возможность примем следующее условие.

Условие 3 (С3). Для любой пары профилей p(p₁, …, p_N) и p*(p₁, …, p_N, p_N+1), для любой пары альтернатив a и b исходы голосований одинаковы, т.е. F(p) ⇔ F*(p*), если N +1-ый индивидуум отказывается от участия в голосовании. Как следствие, неучастие индивидуума в голосовании неотличимо от его безразличия.

Примем также условие «неограниченного домена».

Условие 4 (UD). Общественные предпочтения должны быть полным упорядочением с полной транзитивностью и должны быть определены для любого возможного набора индивидуальных предпочтений (Sen (1999)).

Рассмотрим теперь двух-альтернативное голосование с количеством голосующих больше либо равно двух.

Лемма 1. Двух-альтернативное голосование с альтернативами a и b с количеством голосующих N > 2, удовлетворяющее условиям UD, C1, C2, и C3 защищено от стратегий тогда и только тогда, когда RI_i(a,b)=0 для всех i.

Доказательство. Пусть RI_i(a,b)=0 для всех i. Это случай, когда голосующему известно, что предпочтения других строго разделились, либо информация о возможном исходе голосования отсутствует. В этом случае избиратель i может оценивать ожидаемый исход голосования, как если он голосует один. Согласно D3 избиратель показывает истинные предпочтения. Поскольку i произвольное, доказательство справедливо для всех i и голосование защищено от стратегий.

Пусть RI_i(a,b)<0 хотя бы для одного i

Рассмотрим сначала вариант RI_i(a,b)=-1. По UD можем рассмотреть профиль, на котором предпочтение i-го голосующего b лучше a. Для рационального избирателя i возможны четыре действия:

1. Избиратель i показывает безразличие. Согласно С2 голосующий не оказывает влияния на коллективный выбор, который определяется другими голосующими. Ожидаемый исход голосования a < b.
2. Индивидуум не голосует. По условию С3 этот вариант дает тот же результат, что и в первом случае. Ожидаемый исход голосования a < b.
3. Индивидуум голосует “b лучше a”. Ожидаемый исход голосования a < b.
4. Индивидуум голосует “a лучше b”. Ожидаемый исход голосования a~b.

Все действия позволяют избирателю i реализовать свои предпочтения. При этом действие 4 минимизирует его предпочтение, поэтому согласно D2 рациональный избиратель должен выбирать из действий 1 или 2 или 3. Из этих действий пункт 2 имеет минимальные издержки, поскольку не требует от избирателя никаких затрат. Действуя по п.2 избиратель, согласно С3, показывает безразличие, что не является его истинным предпочтением и голосование манипулируемое.

Рассмотрим теперь вариант RI_i(a,b)<-1. Любое действие избирателя i не способно изменить ожидаемый исход голосования a < b. Рациональный избиратель должен выбрать вариант, минимизирующий его издержки, т.е. отказаться от участия в голосовании. Согласно С3 он показывает безразличие, что не является его истинным предпочтением, и голосование манипулируемое.

Рассмотрим случай RI_i(a,b) >0. Доказательство такое же, как и для случая RI_i(a,b)>0 путем замены a на b и b на a.

Разберем теперь голосования с неограниченным количеством альтернатив.

Теорема 2. Голосование с альтернативами (a₁, a₂, …, a_M), где M ≥ 2, и с количеством голосующих N > 2, удовлетворяющее условиям UD, C1, C2, и C3, защищено от стратегий, если RI_i(a_j,a_k)=0 для всех i из N и для всех j, k из M.

Доказательство. Т.к. RI_i(a_j,a_k)=0 для всех i, j, k, любой голосующий может определить исход голосования как если бы голосовал в одиночку. Этот случай подпадает под D3, согласно которому голосующий показывает свои истинные предпочтения, и голосование защищено от стратегий.

Теорема 3. Голосование с альтернативами (a₁, a₂, …, a_M), где M ≥ 2, и с количеством голосующих N > 2, удовлетворяющее условиям UD, C1, C2, и C3, манипулируемо, если RI_i(a_j, a_k) ≠ 0 для всех j, k, из M и хотя бы для одного i из N.

Если альтернативы две, доказательство по Лемме 1.

Пусть имеется M ≥3 альтернатив (a₁, a₂, …, a_M) и по UD рассмотрим истинные предпочтения произвольного избирателя i точно совпадающими с RI_i(a_j,a_k). Рассмотрим две альтернативы a_j,a_k. По Лемме 1 рациональный избиратель должен выбрать отказ от голосования, чем голосовать за одну из них. Т.к. j, k взяты произвольно, это должно быть справедливо для всех j, k из M. Т.о. избиратель i отказывается от участия в голосовании, чем показывает свое безразличие относительно всех альтернатив, что не является его истинными предпочтениями и голосование манипулируемо.

В отличие от теоремы Гиббарда – Саттерсвайта Теоремы 2 и 3 не ограничены правилами выбора, т.к. нигде не использовалось такое ограничение.

В своей работе Эрроу (1963) задается условием, что индивидуальные оценки представляют собой известные данные, которые не могут изменяться в ходе процесса принятия коллективного решения. Мы считаем, что манипулируемость есть прямое следствие нарушения этого условия. Например, опрос общественного мнения есть, по сути, предварительное голосование. Т.е. процесс принятия коллективного решения включает разнесенные по времени опрос и само голосование. Если до опроса предпочтения избирателей были одни, то после опроса они меняются, что приводит к нарушению приведенного выше условия Эрроу, и к манипулируемости голосования.

Литература

1. Arrow, K., 1951. Social Choice and Individual Values. New York: Wiley.
2. Arrow, K., 1963. Social Choice and Individual Values, 2nd Ed. New York: Wiley.
3. Friedman, Milton, 1953. Essays in Positive Economics, Part I - The Methodology of Positive Economics. University of Chicago Press.
4. Gibbard, A., 1973. Manipulation of Voting Schemes: A General Result. Econometrica 41(4), pp. 587-601.
5. Satterthwaite, M., 1975. Strategy-Proofness and Arrow’s Conditions: Existence and Correspondence Theorem for Voting Procedures and Social Welfare Functions. Journal of Economic Theory 10(2), pp. 187-217.
6. Sen, A., 1999. The Possibility of Social Choice. American Economic Review 89, N3, pp. 349- 378.